コストを抑えるなら①airbnbか、②日系のニューヨークの掲示板でサブレット（短期で留守の人の部屋を借りる）か短期のアパートを探すのが良いと思います。

場所はブロードウェイなどにいくならブルックリンよりもクイーンズ、ロングアイランドシティと呼ばれるマンハッタン近くの地域の方が、圧倒的に近くて便利なのでオススメです。クイーンズボロプラザの周辺は最近、③ホテルなどの開発も進んでいます。
ブルックリンはマンハッタンよりも多少価格は下がりますが、地域によってはまだ危険な場所もあるので、どこに宿泊先があるか、がポイントになります。

クイーンズは、地下鉄の紫色のライン・７番線沿いのWood Sideまでなら、Times Squareまで１０〜２０分で着くので、観光にも便利ですし安全な地域です。
ルーズベルトアイランド、ロングアイランドシティ、アストリア、サニーサイド、ウッドサイド辺りまでが観光に便利な範囲だと思います。

①は最近値上がりしてきており、大したところでなくても高額な場合があるので注意が必要です。
②の場合は、おそらく一番お値打ち価格で宿泊先が見つかりますが、貸し手が出てくるかわからない、２週間ほど間近にならないと情報が出てこないのがデメリットです。
③はロングアイランドシティのエリアなら、マンハッタンよりも多少お手頃で、交通の便は非常に良いです。

ニューヨークで有名なブロガーさんはLibertyさんです。ニューヨーク観光の情報なら、誰もが一度みたことのあるブログだと思います。
http://blog.excite.co.jp/nyliberty/

また、岡田光代さんは現地の新聞に連載していたり、本も出版されているので、現地の日本人にも有名です。
http://okadamitsuyo.com/

お二人とも、ニューヨークの魅力をよくご存知の方々です。