質問ありがとうございます。

パナマに来る前に黄熱病の予防接種はしました。証明となるイエローカードもありますが、見せたことはありません。聞かれたこともありません。
※日本→アメリカ→パナマ→アメリカ→日本→アメリカ→パナマ(現在)

バルバトスに行った知り合いはいませんので、正確な情報ではありませんが、キューバに行った知り合いは「何も聞かれなかった」と言っていました。
なのでご質問の「パナマからカリブ〜」の質問にはマストではないとお答えします。

最後に、イエローカード(黄熱病予防接種証明書)を見せる必要があるかどうかはわかりませんが、お体にはお気をつけください。