空港が、今のアタチュルク空港から新空港へと変更になるかもしれないのでまず注意が必要かと思います。
情報によるとスターバックスなどは営業しているようですが、深夜便ですと他の過ごし方は正直思いつきません。。。自分の場合も深夜便着の飛行機に乗ることもあるのですが基本は深夜前につくように来ております（交通手段を考えて）。
下記に市内にいくバスを紹介しているサイトを追記するのでぜひご覧なってみてはいかがでしょうか？朝の4時過ぎからバスがあるようです。
ちなみにタクシーで市内までですと１００リラ程度だと思います。
http://www.havabus.com/default.aspx